Algèbre linéaire Exemples

A = ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} x & 3 & x^{2} - 3 & 5 x & 0 4 & x^{3} & 1 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

1

$1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for

a_{11}

$a_{11}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element

a_{11}

$a_{11}$ by its cofactor.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for

a_{12}

$a_{12}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element

a_{12}

$a_{12}$ by its cofactor.

- 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for

a_{13}

$a_{13}$ is the determinant with row

1

$1$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element

a_{13}

$a_{13}$ by its cofactor.

x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

x ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 5 x & 0 x^{3} & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 0 4 & 1 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + x^{2} ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} - 3 & 5 x 4 & x^{3} \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez

$5$ par

$1$ .

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez

$- x^{3} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez

$0$ par

$- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez

$0$ par

$x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Additionnez

$5 x$ et

$0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez

$- 3$ par

$1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez

$- 4$ par

$0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez

$- 3$ et

$0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Étape 4.2

Multipliez

$5$ par

$- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.2

Multipliez

$x$ par

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez

$x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.2.2

Multipliez

$x$ par

$x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.3

Multipliez

$- 3$ par

$- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Étape 5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez

$x^{2}$ par

$x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1.1

Déplacez

$x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.1.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.1.3

Additionnez

$3$ et

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.2

Multipliez

$x^{2}$ par

$x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.2.1

Déplacez

$x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Étape 5.7.2.2

Multipliez

$x$ par

$x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1

Élevez

$x$ à la puissance

$1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Étape 5.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Étape 5.7.2.3

Additionnez

$1$ et

$2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$