Algèbre linéaire Exemples

$A = [\begin{array}{c} x & 3 & x^{2} \\ - 3 & 5 x & 0 \\ 4 & x^{3} & 1 \end{array}]$

Étape 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Étape 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Étape 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$

Étape 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$

Étape 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} | - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2

Évaluez $| \begin{array}{c} 5 x & 0 \\ x^{3} & 1 \end{array} |$ .

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Étape 2.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x \cdot 1 - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$x (5 x - x^{3} \cdot 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- x^{3} \cdot 0$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$x (5 x + 0 x^{3}) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $x^{3}$ .

$x (5 x + 0) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 2.2.2

Additionnez $5 x$ et $0$ .

$x (5 x) - 3 | \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} | + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & 0 \\ 4 & 1 \end{array} |$ .

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Étape 3.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 \cdot 1 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 - 4 \cdot 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$x (5 x) - 3 (- 3 + 0) + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 3.2.2

Additionnez $- 3$ et $0$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} | \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$

Étape 4

Évaluez $| \begin{array}{c} - 3 & 5 x \\ 4 & x^{3} \end{array} |$ .

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Étape 4.1

Le déterminant d’une matrice $2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 4 (5 x))$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $- 4$ .

$x (5 x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x \cdot x - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1

Déplacez $x$ .

$5 (x \cdot x) - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$5 x^{2} - 3 \cdot - 3 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3} - 20 x)$

Étape 5.4

Appliquez la propriété distributive.

$5 x^{2} + 9 + x^{2} (- 3 x^{3}) + x^{2} (- 20 x)$

Étape 5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 20 x)$

Étape 5.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{2} x^{3} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.1.1

Déplacez $x^{3}$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 (x^{3} x^{2}) - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{3 + 2} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.1.3

Additionnez $3$ et $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{2} x$

Étape 5.7.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.7.2.1

Déplacez $x$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x \cdot x^{2})$

Étape 5.7.2.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 (x^{1} x^{2})$

Étape 5.7.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{1 + 2}$

Étape 5.7.2.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$5 x^{2} + 9 - 3 x^{5} - 20 x^{3}$